Nach Kaplanstätigkeit in Zagreb von 1981 bis 1983 war Zovkić im Anschluss als Seelsorger der kroatischen katholischen Gemeinde in Wetzlar (Bistum Limburg) tätig. 1986 wurde er Magister am kleinen Seminar in Zagreb. 1987 kam er in die Diözese Würzburg. Zunächst wirkte Zovkić als Kaplan in Randersacker und Theilheim, ehe er 1988 zum Pfarrverweser von Theilheim ernannt wurde. 1992 übernahm er die Seelsorge in Weisbach und Oberelsbach. 1996 wurde Zovkić in die Diözese Würzburg inkardiniert und zum Pfarrer von Weisbach und Oberelsbach ernannt. 1998 wechselte er nach Kahl am Main, wo er bis zum Jahr 2000 wirkte. Ab 1999 war er zudem Altenseelsorger für das Dekanat Alzenau. Von 2001 bis 2007 war Zovkić zur Mithilfe in der Seelsorge für das Dekanat Schweinfurt-Nord und die angrenzenden Dekanate beauftragt. Im Jahr 2007 wurde er Pfarrer von Sulzheim sowie Kuratus von Alitzheim mit Filiale Mönchstockheim. 2008 wechselte Zovkić als Pfarrvikar in die Pfarreiengemeinschaft „Sankt Kilian Würzburg-West, Waldbüttelbrunn“, unter Beibehaltung des Titels „Pfarrer“. Ab 2009 war er vorübergehend auch Pfarradministrator der Pfarreiengemeinschaft. 2016 wurde Zovkić zum mitarbeitenden Priester in der Pfarreiengemeinschaft „Heilige Dreifaltigkeit, Aschaffenburg“ ernannt, unter Beibehaltung des Titels „Pfarrer“. In Aschaffenburg wird am Donnerstag, 16. Januar, um 14 Uhr der Leichnam Zovkićs in der Pfarrkirche Sankt Konrad aufgebahrt. Um 14.30 Uhr wird für den Verstorbenen der Rosenkranz gebetet, um 15 Uhr schließen sich Requiem und Aussegnung an. Danach wird der Sarg nach Zupanja in Kroatien überführt. Dort findet am Samstag, 18. Januar, die Beisetzung statt.
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